Задание 13. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 12.05.2026

📖 Задача

а) Решите уравнение $$2\cos^2 x - \sin(x + \pi) - 1 = 0$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$$

💡 Решение

\textbf{а) Решение уравнения} 1. Упростим $\sin(x + \pi)$. По формуле приведения: $$\sin(x + \pi) = -\sin x$$ 2. Подставим в уравнение: $$2\cos^2 x - (-\sin x) - 1 = 0$$ $$2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0$$ 3. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0$$ $$2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$$ 4. Умножим на $-1$: $$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$ 5. Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$: $$2t^2 - t - 1 = 0$$ 6. Решаем квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$\sqrt{D} = 3$$ $$t_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$t_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 7. Возвращаемся к $x$: \textbf{Случай 1:} $\sin x = 1$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ \textbf{Случай 2:} $\sin x = -\frac{1}{2}$ $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ \textbf{Ответ к пункту а):} $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n,\quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ \vspace{1em} \textbf{б) Отбор корней на отрезке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$} Рассмотрим каждый корень и подберём целые значения $n$: 1) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $\frac{\pi}{2}$ — не входит (меньше $\frac{3\pi}{2}$) - При $n = 1$: $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$ — входит - При $n = 2$: $\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{9\pi}{2}$ — больше $3\pi$ (так как $3\pi = \frac{6\pi}{2}$) ✓ $\boxed{\frac{5\pi}{2}}$ подходит. 2) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $-\frac{\pi}{6}$ — не входит (отрицательный) - При $n = 1$: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ — входит - При $n = 2$: $-\frac{\pi}{6} + 4\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$ — больше $3\pi = \frac{18\pi}{6}$ ✓ $\boxed{\frac{11\pi}{6}}$ подходит. 3) $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = 0$: $\frac{7\pi}{6}$ — меньше $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ (не входит) - При $n = 1$: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$ — входит - При $n = 2$: $\frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{7\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{31\pi}{6}$ — больше $3\pi = \frac{18\pi}{6}$ ✓ $\boxed{\frac{19\pi}{6}}$ подходит. \textbf{Ответ к пункту б):} $$\boxed{\frac{11\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{2},\quad \frac{19\pi}{6}}$$

🔑 Ответ